{\displaystyle (x-t)_{+}=\max(x-t,0)} 2 ( f Considérons une intégrale définie μ a + ] + i − Par conséquent. ( k 0 En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d… {\displaystyle \xi \in ]a,b[} ( = ( Ce procédé permet ainsi une généralisation des résultats précédents. Cette apparence est trompeuse : avec une fonction plus chaotique, les courbes seraient beaucoup plus erratiques. ∫ En se plaçant dans le cadre général d'une méthode d'intégration numérique, l'erreur commise s'exprime sous la forme : L'erreur peut être calculée par l'intégrale d'une fonction liée à l'erreur, appelée noyau de Peano : Théorème — On suppose que la méthode d'intégration est d'ordre n. Si b En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d’une variable sur un intervalle). b = {\displaystyle M=\sup _{x\in [a,b]}|f^{(m+1)}(x)|} f ceci pour k entre 0 et n–1. ( ∈ a Mentionnons uniquement une formule particulièrement remarquable qui présente une double anomalie : Formule NC-4-2-2, basée sur un polynôme de degré 7, elle est d’ordre 9 : Les coefficients de f '(a) et de f '(b) sont opposés, ce qui permet des simplifications dans la formule composite. + [ 1 f ξ ( faisant intervenir la dérivée ou du type . 10 Cette fonction est appelée noyau de Peano lié à la méthode. x Cependant, ne s’agissant pas d’une formule de quadrature, l’erreur ne peut pas être majorée avec certitude par une quantité décroissante avec le nombre de tirages. ∈ ⁡ 2 = Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. a a ′ ) ! On donne ici quelques calculs du noyau de Peano. {\displaystyle E_{J_{i},q_{i}}(f)} Les cas singuliers de ce type sont les suivants : (1, 0, Méthode de surrelaxation successive (SOR), https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Calcul_numérique_d%27une_intégrale&oldid=170746720, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. − m I i b Si M est une matrice, il faut indiquer l'axe en paramètre axis= : 0 (premier indice) pour faire une différence entre les lignes, 1 (deuxième indice) pour faire la différence en… I ( 2 − [ = ∈ + Supposons que a et b soient finis : dans le cas contraire, il est conseillé d’effectuer un changement de variable permettant de satisfaire cette hypothèse[1]. ] ) Il n'existe pas de formule générale dans ce cas, mais on peut obtenir le résultat suivant[6] : Soit Pm + 1 le polynôme d'interpolation des points de Gauss associés au poids w sur [a , b]. On utilise maintenant le 3e résultat pour caractériser l’erreur d’intégration de f sur Ji issue de qi tirages, soit . Après n itérations, elle conduit à une méthode d’ordre de 22 n + 1 avec une erreur en ″ x = ∞ b En d’autres termes, Eq(f) est essentiellement distribué comme une loi normale L'erreur pour cette méthode d'ordre 1 s'écrit : Il vient alors, par application du deuxième résultat : Le noyau de Peano pour cette méthode d'ordre 1 s'écrit : On sait que la méthode de quadrature de Gauss de degré m est d'ordre 2m+1. a ( | ] , 0 Par ailleurs, l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à chaque Jk implique : En choisissant La méthode du point milieu est plus efficace si la fonction est dans Les résultats suivants permettent de caractériser la distribution de l’erreur et son écart type : Alors la distribution de The Riemann sum is an approximation of the integral and per se not "exact". ) b j Dans ce cas et afin de réduire ( Ainsi gi'(u) = f'(u) et l’intégrale de gi sur Ji est nulle. ) C’est une conséquence directe du théorème central limite.

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